3차원 벡터

 

3차원 벡터의 길이는 피타로가스의 정리를 두 번 적용해서 구할 수 있다.

 

 

 

벡터를 순전히 방향을 나타내는 용도로만 사용하는 경우

벡터의 길이는 그닥 중요하지 않다.

각 벡터의 성분을 벡터의 크기로 나누면 벡터가 정규화 된다.

 

 

내적

접곱(dot product)라고도 부르는 내적(inner product)은 스칼라값을 내는 벡터 곱셈의 일종이다.

결과가 스칼라라서 스칼라 곱이라고 부르기도 한다.

 

 

다른 말로 하면 내적은 대응되는 성분들의 곱의 합이다.

내적의 정의만 봐서는 내적의 기하학적 의미가 분명하지 않는데,

코사인 법칙을 적용해 보면 다음과 같은 관계를 찾아낼 수 있다.

 

 

여기서 θ는 0 <= θ <= π를 만족하는 각도이다.

따라서 두 벡터의 내적이 두 벡터 사이의 각도의 코사인을

벡터 크기로 비례한 것임을 뜻한다.

 

u와 v 둘 다 단위벡터일 때 경우 uㆍv 는 두 벡터 사이의 각도의 코사인이다.

즉, uㆍv = cosθ.

 

1. 만일 uㆍv = 0 이면 두 벡터는 직교이다.

2. 만일 uㆍv > 0 이면 두 벡터 사이의 각도는 θ보다 작다.(예각)

3. 만일 uㆍv < 0 이면 두 벡터 사이의 각도는 θ보다 크다.(둔각)

 

외적

또 다른 벡터 곱셈으로 가위곱 또는 외적이라는 것이 있다.

결과가 스칼라인 내적과 달리 외적의 결과는 벡터이다.

또한 외적은 오직 3차원 벡터에 대해서만 정의된다.

두 3차원 벡터 u와 v의 외적을 취하면 u와 v모두에 직교인 또 다른 벡터 w가 나온다.

즉 w는 u와 직교이고 v와도 직교이다.

 

하지만 같은 방향인 벡터 2개를 가지고는 평면을 정의할 수 없다.

이러한 벡터와는 직선만 정의할 수 있다.

 

따라서 같은 방향인 벡터를 외적하는 것은 큰 의미가 없다.