이산 수학 - 논리와 명제

 
추론(argument) 란,
주어진 명제가 참인 것을 바탕으로 새로운 명제가 참이 되는 것을 유도해내는 과정이다.
 
전제(premise)란,
추론 과정에서 주어진 명제들이다.
ex) p₁,p₂,p₃ .... pn
 
명제에는 순서가 그렇게 중요하지 않다.
pn-3 ... pn = q 결과 유도도 동일하다.
 
결론(conclusion)이란,
추론 과정에서 새롭게 유도된 명제이다.
 
추론은
유효 추론, 허위 추론 두 가지로 나눌 수 있다.
 
유효 추론 (valid argument) : 전제가 참(T)이고 결론도 참(T)인 추론
허위 추론 (fallacious argument) : 결론이 거짓(F)인 추론
 
유효 추론 / 허위 추론의 여부는 진리표를 이용하거나
여러 추론 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.
 
이 외에도 추론 법칙에는
 
긍정 법칙 p이면 q이다.
부정 법칙 p가 아니면 q가 아니다.
조건 삼단 법칙 p이면 q이다 q이면 r이다 즉 p이면 r이다.
선언 삼단 법칙 p 와 q 의 or연산은 참이다. !p는 참이 될 수도 있다.
 
그 외에도 양도 법칙이 있다.
 
양도 법칙은 (p → q) ∧ (r → s) 가 참이면,
p → q 도 참이 되는 것이며,
r →  s 도 참이 되는 것이다.
p 나 r 도 참이 된다.
그럼 p나 r 둘 중의 하나가 참이거나,
p와 r 둘다 참인 경우이다.
 
p가 참인 경우에는 q도 참이어야한다.
r 이면 s인 경우에도 반드시 s가 참인 경우이다.
 
 
이 외에도 파괴적 법칙, 선접 법칙, 분리 법칙, 연적 법칙이 있다.
 
아래 표는 논리적 추론과 관련된 법칙인
파괴적 법칙, 선접 법칙, 분리 법칙, 연적 법칙에 대한 정의와 각각의 형식을 정리한 것이다
 

 

• 파괴적 법칙은 조건이 부정되는 경우에 대한 논리적 관계를 나타낸다.
• 선접 법칙은 두 조건이 모두 참일 때의 결합을 표현한다.
• 분리 법칙은 하나만 참일 경우 전체가 참인 상황을 설명한다.
• 연적 법칙은 논리 연산에서 결합 순서가 결과에 영향을 주지 않는다는 것을 나타낸다.

 

술어 논리

술어 논리란 변수(or 주어)의 값에 따라서 명제(or 명제 술어)의
참 혹은 거짓을 판별 하는 논리
 
변수 x에 대한 명제 술어를 일반적으로 p(x)로 표시한다.
 
술어 한정자 : 변수의 범위를 한정시키는 표시(문장 또는 기호)이다.
전체 한정자 : '모든 x에 대하여'라는 의미이며 기호로 ∀χ을 사용한다.
존재 한정자 : '어떤 x에 대하여'라는 의미이며 기호로는 ∃χ를 사용한다.